BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.

B.     Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas kami  menemukan permasalahan sebagai berikut :

1.      Apa pengertian atau definisi matriks serta bagaimana pengertian determinan dan invers matriks?

2.      Bagaimana operasi penyelesaian matriks dan permasalahan pada matriks?

C.   Tujuan Pembahasan

 Berdasarkan uraian di atas kami  menemukan permasalahan sebagai berikut :

1.      Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks, dan pengertian determinan dan invers matriks.

2.      Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks  dan penyelesaian masalah pada matriks.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    PENGERTIAN MATRIKS

1. Definisi Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang dan bujur sangkar dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh kolom dan baris yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) dan [ ].

2. Simbol Matriks

Pada umumnya simbol matriks berbentuk | |, [ ], ( ). Secara umum sebuah matriks dapat ditulis :

A_mxn =

Matriks juga dapat dinyatakan sebagai: A_mxn = [a_ij]_mxn

Dimana: a_ij = elemen atau unsur matriks

               i   = 1,2,3,...m, indeks baris

               j   = 1,2,3,...n, indeks kolom

3. Bentuk-Bentuk Matriks

1.      Ordo 2 x 1 mengandung pengertian 2 baris dan 1 kolom.

 Misalnya:

2.      Ordo 2 x 2 mengandung pengertian 2 baris dan 2 kolom.

Misalnya:

3.      Ordo 3 x 3 mengandung pengertian 3 baris dan 3 kolom.

Misalnya:

B.     JENIS-JENIS MATRIKS

Jenis matriks dapat dibedakan berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan sifat operasi dari matriksnya.

a.                   Berdasarkan Susuna Elemen Matriks

Berdasarkan susunan elemen matriks, ada beberapa jenis matriks yaitu:

1.      Matriks kuadrat/bujur sangkar (square matrix) adalah matriks dimana jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n) atau m = n.

Contoh:   A = ,        B =

2.      Matriks nol (null matrix) adalah matriks dimana semua elemenya mempunyai nilai nol (0).

Contoh:   A =  ,        B = 

3.      Matriks diagonal (diagonal matrix) adalah matriks dimana semua     elemen diluar diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal utamanya bukan nol.

Contoh:   A =   ,        B = 

4.      Matriks kesatuan/identitas (unit matrix, identity matriix) adalah matriks dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu dan elemen diluar diagonal utama bernilai nol.

 Contoh:   A =   ,        B = 

5.      Matriks skalar (scalar matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol.

Contoh:   A =   ,        B = 

6.      Matriks tridiaonal (tridiagonal matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai tidak sama dengan nol (0).

Contoh:   A = 

7.      Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L) adalah matriks diagonal mana elemen disebelah kiri (bawah) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh:   L =   ,        L =  

8.      Matriks segitiga atas (upper triangular matrix, U) adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kanan (atas) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh:   U =   ,        U = 

9.      Matriks simetris (symmertic matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke a_ij sama dengan ke a_ij atau (a_ij= a_ij) untuk semua i dan j.

Contoh:   U =  , berlaku sifat A^T = A

10.  Matriks miring (skew matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke a_ij sama dengan –a_ji atau (a_ij = -a_ji) untuk semua i dan j tetapi elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol.

Contoh:  M =  , berlaku sifat M^T = -M

11.  Matriks miring simetris (skew-symmetric matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke a_ij sama dengan –a_ij atau (a_ij = -a_ji) untuk semua i dan  dan semua elemen diagonal utama bernilai nol.

Contoh:   M =  , berlaku sifat M^T = -M

b.                              Berdasarkan Sifat Operasi Matriks

Berdasarkan sifat operasi matriks, ada beberapa jenis matriks yaitu:

1.      Matriks singular (singular matrix) adalah matriks yang determinannya bernilai nol.

Contoh:   A =   ,        B = 

2.      Matriks non singular (non singular matrix) adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh:   A =   ,        B = 

3.      Matriks hermit (hermit matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan matriks itu sendiri atau = M dimana = conjugate kompleks matriks M.

Contoh:  M =  ,   = 

 = = M

4.      Matriks hermit miring (skew hermit matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan negatif matriks itu sendiri atau = -M.

Contoh:  M =  ,   = 

   = = -M

5.      Matriks uniter (uniter matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transposenya sama dengan invers conjugate-nya atau M^T =    atau    = = I.

Contoh:   M =   ,      =   dan M^T=     = = =

6.      Matriks ortogonal (orthogonal matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transposenya sama dengan inversnya atau M^T = M^-1 atau M^TM=I.

Contoh:   M =   ,   dan   M^T =   

            M^TM === I

7.      Matriks normal (normal matrix) adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat: M=.

Contoh:   M =   ,   dan  =   

=

M=M ↔

==

= 2 = 2

8.      Matriks involunter (involunter matriks) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilakan matriks identitas atau M² = I.

Contoh:   M =  

                  M²= M.M = = = I

9.      Matriks idempotent (idempotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks asal M²= M.

Contoh:  M = 

                  M²=  = = M

10.  Matriks nilpotent (nilpotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks nol atau M^P = 0, untuk p = bilangan bulat positif > 2.

Contoh:  M = 

            =

                =

11.  Matriks elementer (elementary matrix) adalah matriks hasil transformasi elementer terhadap matriks kesatuan (I).  

Contoh:  I = 

      Transformasi elementer I_12,I_3(k),dan I_23(k):

                    I₁₂ = 

      I_3(k) = 

     I_23(k) = 

Keterangan:

I₁₂=b₁₂ (baris 1 ditukar dengan baris 2)

I_3(k)=b_3(k)=k xb₃ (baris 3 dikali dengan k)

I_23(k)=b₂+k x b₃ (baris 2 + baris 3 dikali k)

C.    ALJABAR MATRIKS

a.       Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks harus memperhatikan hal-hal berikut:

·         Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau dimensi yang sama.

·         Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

·         Matriks hasil penjumlahan atau pengurangan mempunyai  ukuran yang sama dengan matriks asal.

·         Penjumlahan matriks adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama pada matriks.

·         Pengurangan (selisih) matriks adalah mengurangi elemen pada posisi yang sama pada matriks.

Jumlah dua matriks A = (a_ij) dan B = (b_ij) yang berukuran m x n:

            A + B = (a_ij + b_ij)_mxn     untuk i = 1,2, ..., m;

                                                            j= 1,2, ..., n;

selisih dua matriks A = (a_ij) dan B = (b_ij) yang berukuran m x n:

            A - B = (a_ij - b_ij)_mxn     untuk i = 1,2, ..., m;

                                                            j= 1,2, ..., n;

Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks:

·         A + B = B + A                            Sifat komutatif

·         A + B + C = C + B + A

·         ( A + B ) + C = A + ( B + C )     Sifat Asosiatif

·         A + 0 = A

·         A – 0 = A

Contoh:

Tentukan penjumlahandan selisih dari matriks-matriks berikut:

A = ,              B =

Penyelesaian:

A + B =  =

A - B =  =

b.      Perkalian Matriks

1.      Perkalian Skalar dengan Matriks

Jika k adalah bilangan real (skalar), maka perkalian skalar dengan matriks A=[a_ij]_mxn :

kA = = (ka_ij)_mxn

atau

Ak = = (a_ijk)_mxn

 Sifat perkalian skalar dengan matriks:

Jika A,B,C adalah matriks mxn, k₁ dan k₂  adalah skalar maka:

·         k₁ = Ak₁

·         (k₁k₂)A = k₁(k₂A)

·         1A = A

·         (-1) A= -A

·         K₁(A+B) = k₁A + k₁B

·         (k₁+k₂)A = k₁A + k₂A

Contoh:

1.      Jika A = dan k = 2 tentukan kA dan Ak

Penyelesaian:

kA = 2 =

Ak = 2=

2.      Jika diketahui matriks A dan B berikut,

A = ,     B =

Tentukan 2A dan 2A-B

Penyelesaian:

2A = 2 =

2A-B = 2 -=

2.   Perkalian Matriks dengan Matriks

Jika A matriks ukuran m x p dan B matriks ukuran p x n, maka perkalian matriks A dan B :

AB =

atau AB =

untuk semua i = 1,2,..., m ; j = 1,2,...,p.

Perkalian matriks yaitu mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan elemen kolom ke-j matriks B dan menjumlahkannya. Dimensi hasil perkalian matriks:

 

A_{m x p}      x      B_{p x n}   = AB_{m x n}

sifat perkalian matriks dengan matriks:

·         A(BC) = A (BC)                      Asosiatif

·         A(B+C) = AB + AC               Distributif kiri

·         (B + C ) A = BA + C             Distributif kanan

·         r(AB) = (rA)B                         r = skalar

·         I_mA = A = AI_n                                  Asosiatif

Contoh:

1.      Jika diketahui A =  dan B = tentukan AB

                  Penyelesaian:

                  AB = x

                  =

                  =

c.       Perpangkatan Matriks

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka Aⁿ = A x A x A x A ... x A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan Aⁿ = A x A^n-1 atau Aⁿ = A^n-1 x A.

Contoh:

Diketahui matriks A = , tentukan:

a.       A²      b. A³     c. 2A⁴

Penyelesaian:

a.       A² = =

b.      A³ = =

c.       2A⁴ = 2A x A³ = 2

       = 2=

d.      Transpose matriks

Transpose dari matriks A berordo m x n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom atau sebaliknya, sehingga beordo n x m. Notasi transpose A_{m x n} adalah .

Contoh:

Tentukan transpose dari matriks berikut:

A = ,      B =

Penyelesaian:

Transpose dari matriks tersebut adalah sebagai berikut:

A^T =              B^T =

e.       Determinan Matriks

1.      Determinan matriks ordo 2 x 2

Misalkan A =  adalah matriks yang berordo 2 x 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal utama kedua. Determinan matriks A dinotasikan “det A” atau  adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama pertama dengan hasil kali pada diagonal utama kedua.

Dengan demikian dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut:

det A = = ad –bc

Contoh:

Tentukanlah determinan metriks matriks berikut:

A =             b.

Penyelesaian:

a.        det A = = (5) (3) - (2) (4) = 7

b.      det B = = (-4) (2) – (-1) (3) = -5

2.      determinan matriks ordo 3 x 3

jika A =  adalah matriks persegi berordo 3 x 3, determinan A dinyatakan dengan det A = .

Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan matriks berordo 3 x 3, yaitu aturan sarrus dan metode minor-kofaktor.

Ø  aturan sarrus

Untuk menentukan determinan dengan aturan sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya kita akan menghitung determinan matriks A_3x3, gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut:

                 

                            =

Ø  metode minor-kofaktor

Misalkan matriks A dituliskan dengan [a_ij]. Minor elemen a_ij yang dinotasikan dengan M_ij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya dari matriks A_3x3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga: A =

Akan diperoleh M₂₁ = . M₂₁ adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M₂₁ = a_21.

Kofaktor elemen a_ij dinotasikan dengan K_ij adalah hasil kali (-1)^i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan:

                                                  K_ij= (-1)^i+j M_ij

      Dari matriks A diatas, kita peroleh misalnya kofaktor a₂₁ dan a₁₃ berturut-turut adalah :

K₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁= -M₂₁

K₁₃=(-1)¹⁺³M₁₃= -M₁₃

                     Kofaktor dari matriks A_3x3 adalah (kof) A =

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian suatu elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memeilih terlebih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan diatas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut:

                    Misalkan diketahui matriks A =

  Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut:

     Kita pilih baris pertama sehingga:

   det A =

             =

            =

          =

          =

          =

Tampak bahwa det A matriks ordo 3 x 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A dengan menggunakan cara sarrus.

Contoh:

Tentukan determinan dari matriks A = dengan aturan sarrus dan minor kofaktor!

Penyelesaian:

Cara 1 (aturan sarrus):

det A =

= (1 x 1 x 2) + (2 x 4 x 3) + (3 x 2 x 1) – (3 x 1 x 3) – (1 x 4 x1) – (2 x 2 x 2)

= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8

= 11

Cara 2 (minor-kofaktor):

det A = 1

   = 1 (2 – 4) – 2 (4 – 12) + 3 (2 – 3)

                = 1 (-2) – 2(-8) + 3(-1)

                = -2 + 16 – 3

                = 11

3.      Sifat-Sifat Determinan Matriks

Berikut beberapa sifat determinan matriks:

1.      jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol.

Misal: A = → ,    B =

2.      jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan baris/kolom elemen-elemen lain maka determinan matriks itu nol.

Misal: B = (karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).

3.      Jika elemen-elemen salah satu kolom/baris merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu sama dengan nol.

Misal: A = (karena elemen-elemen baris ke-3 merupakan kelipatan elemen-elemen baris ke-1)

4.     

5.      , untuk AT adalah transpose dari matriks A.

6.      , untuk A^-1 adalah invers dari matriks A

7.      untuk A ordo n x n dan k suatu konstanta.

f.        Invers Matriks

Jika A adalah matriks ukuran n x n dan jika ada matriks b ukuran n x n sedemikian rupa sehingga:

                        AB = BA = I

Dimana I adalah matriks identitas ukuran n x n, maka matriks A disebut non singular atau invertibel dan matriks A merupakan invers dari B atau B merupakan invers dari A.

Jika matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks singular atau non invertibel.

Notasi matriks invers dari A: A^-1.

1.      Menentukan invers matriks berordo 2 x 2

Misalkan diketahui matriks A = , dengan ad-bc tidak sama dengan nol. Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A^-1 dengan demikian berlaku AA^-1=A^-1A.

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular yaitu det A ≠ 0, sebaliknya jika det A = 0 maka matriks singular maka matriks ini tidak memiliki invers.

Jadi jika A = , maka inversnya adalah:

A^-1 =   untuk ad-bc ≠ 0

Contoh:

Tentukan invers matriks matriks berikut:

a.       A =

b.      B =

Penyelesaian:

a.       A^-1 =  

 = 

  =

b.      B^-1 =  

 = 

     =

2.      Menentukan invers matriks berordo 3 x 3

Invers matriks berordo 3 x 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kami akan menggunakan cara adjoin.

                   Invers matriks persegi berordo 3 x 3 dirumuskan sebagai berikut:

Penentuan adj A:

                 

                 

                

Contoh:

Diketahui matriks A = tentukan invers matriks A dengan menggunakan perhitungan menurut baris pertama.

Penyelesaian:

Terlebih dahulu kita hitug determinan A

          = 1(9 – 8) – 2(6 – 4) + 1(4 – 3)

          =1(1) – 2(2) + 1(1)

          =1 – 4 + 1

          = -2

Dengan menggunakan rumus adjoin diperoleh:

Jadi A^-1 dapat dihitung sebagai berikut:

       =

       =

g.      Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sestem persamaan linear dua variabel dan tiga variabael.

1.      Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel:

ax + by = p .......................................................(1)

cx + dy = q .......................................................(2)

persamaan (1) dan (2) deatas dapat kita susun kedalam bentuk matriks dibawah ini:

Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilaix dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarnya sistem penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut:

Asalkan ad – bc

Contoh:

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks.

2x + y =

x + 3y = 7

penyelesaian:

dari persamaan diatas dapat kita susun menjadi matriks sebagai berikut.

Dengan menggunakan rumus penjelasan matriks diatas, diperoleh sebagai berikut.

 

       =

       =

Jadi,diperoleh penyelesain x = 1 dan y = 2

2.      Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara misalnya eliminasi, substitusi dan gabungan antara eliminasi dan substitusi.

Misalkan diberikan sistem persaman linear tiga variabel sebagai berikut.

Sistem persamaan linear diatas dapat disusun menjadi matriks sebagai berikut:

Misalkan A = , X = dan B =

Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai AX = B

Penyelesaian sistem persamaan AX= B adalah X = A^-1B. Dalam hal ini

A^-1= , oleh karena itu diperoleh:

X =   B = B

Contoh:

Tentukanlah determinanmatriks berikut:

Penyelesaian:

B = (1x3x3) + (2x4x1) + (3 x1x4) – (3x3x1) – (1x4x4) – (2x1x3)

D.    NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n x n misalkan A, dan sebuah vektor kolom X dihubungkan dengan sebuah persamaan :

AX = λX     

dimana λ adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol.

Skalar λ dinamakan nilai Eigen dari matriks A.  Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar.  Vektor X adalah suatu vektor yang tidak nol untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen.  Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu.

Perhitungan Nilai Eigen

Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan sebelumnya.  Apabila kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan :

IAX = IλX

AX = λIX

[λI - A]X = 0

Persamaan terakhir terpenuhi jika dan hanya jika

det[λI - A] = 0       

Dengan menyelesaikan persamaan diatas kita bisa mendapatkan nilai eigen λ.

Misalkan diberikan sebuah matriks

A =

Dari persamaan det[λI - A] = 0 kita dapatkan :

det

Selanjutnya dengan menggunakan rumus abc didapatkan nilai eigen :

Contoh:

1.      tentukan nilai eigen dari matriks berikut ini:

Penyelesaian:

Nilai eigen ditentukan dengan persamaan:

det= 0

Jadi penyelesaian dari persamaan ini adalah =1 dan =2

2. Tentukanlah nilai eigen dari matriks berikut ini:

Penyelesaian:

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah:

= 0

Untuk mencari nilai yang sesuai terlebih1 dahulu hitung determinan dari (A-) dengan metode kofaktor:

det A = (

sehingga didapat ketiga nilai eigen adalah

E.     PENERAPAN MATRIKS DALAM FISIKA

a.       Analisis Vektor dengan Pendekatan Matriks

Vektor adalah istilah yang sangat akrab bagi orang – orang yang berkecimpung di bidang fisika. Tentu saja karena vektor adalah istilah penting yang berhubungan dengan sifat yang dimiliki oleh suatu objek. Vektor atau besaran vektor didefinisikan sebagai besaran yang mempunyai besar atau nilai dan arah, sedangkan definisi dari besaran adalah sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam satuan. Akan sangat panjang jika kita membahas definisi besaran di sini, maka mari kita kembali menengok pembahasan vektor kita. Catatan ini akan lebih banyak membahas operasi matematika pada vektor, jika pembaca ingin mengetahui lebih banyak tentang definisi vektor dan aturan penulisan vektor, pembaca dapat membaca referensi – referensi lain yang membahas tentang vektor.

Vektor dapat direpresentasikan ke dalam bentuk vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor pada arah sumbu x, y, atau z pada koordinat kartesian yang memiliki besar satu satuan. Misalnya suatu vektor dua dimensi pada koordinat kartesian F = 16 N pada arah 60 derajat dapat direpresentasikan dalam vektor satuannya sebagai F = (8i + 13.86j) N, dengan huruf i menunjukkan vektor satuan dari F yang bernilai 8 N pada arah sumbu x dan huruf j menunjukkan vektor satuan dari F yang bernilai 13.86 N pada arah sumbu y. Untuk vektor tiga dimensi kita dapat menambahkan vektor satuan dengan lambang k untuk merepresentasikan vektor pada arah sumbu z. Secara umum kita dapat menuliskan suatu vektor F = Fxi + Fyj + Fzk, dengan Fx, Fy, dan Fz masing – masing adalah nilai komponen vektor F pada arah sumbu x, y, dan z.

Berawal dari penulisan besaran vektor dalam bentuk vektor satuan, kita akan menemukan bahwa melalui suatu persamaan bentuk, maka kita dapat mengaplikasikan operasi matriks dalam menganalisis nilai dari operasi matematika untuk satu atau lebih besaran vektor. Ada beberapa operasi matematika pada besaran vektor, misalnya penjumlahan, pengurangan, perkalian titik (dot product), dan perkalian silang (cross product). Ada pula istilah operator di dalam analisis vektor, Anda akan memahaminya lebih dalam ketika belajar tentang Kalkulus Vektor. Kali ini kita akan membahas operasi – operasi matematika dasar pada vektor melalui pendekatan bentuk matriks. Melalui pendekatan ini diharapkan akan mempermudah proses analisis besaran vektor dan memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang besaran vektor.

b.      Operasi Matematika pada Vektor dengan Pendekatan Matriks

Besaran vektor dapat dijumlahkan satu sama lain, misal kita mempunyai vektor A = 5i + 5j – 5k dan vektor B = 4i-3j+2k. Maka kita dapat mengetahui hasil penjumlahan vektor A + B = R dengan menjumlahkan nilai masing – masing komponen vektor satuannya yang bersesuaian. Melalui konsep tersebut kita bisa menentukan nilai R = (5+4)i + (5+(-3))j + ((-5)+2)k, sehingga R = 9i + 2j – 3k. Sekarang kita menggunakan pendekatan matriks untuk operasi penjumlahan tersebut, bayangkan kita memiliki sebuah matriks 1×3, dengan masing – masing kolom terisi nilai vektor pada sumbu x, y, dan z. Misalnya, F = [Fx Fy Fz], dengan Fx adalah nilai vektor F pada sumbu x, Fy adalah nilai vektor F pada sumbu y, dan Fz adalah nilai vektor F pada sumbu z. Kita akan mendapatkan vektor A = [5 5 -5] dan vektor B = [4 -3 2], dari bentuk matriks tersebut kita dapat memperoleh hasil penjumlahan kedua vektor tersebut, R, dengan cara menjumlahkan vektor (atau sekarang bisa kita sebut matriks) A dan B melalui operasi penjumlahan pada matriks biasa. Kita akan memperoleh R = [9 2 -3], bandingkan dengan hasil yang kita peroleh sebelumnya, bersesuaian bukan?

Untuk operasi pengurangan vektor, mari kita tinjau kembali konsep dari pengurangan suatu vektor dengan vektor yang lain. Kita akan mendapatkan bahwa mengurangkan suatu vektor dengan vektor yang lain sama dengan menjumlahkan suatu vektor dengan lawan vektor yang lain. Dalam hal ini, yang dimaksud lawan adalah nilai negatif dari vektor yang dimaksud, contohnya -1 adalah lawan dari 1. Dari sini kita dapat menggunakan konsep penjumlahan vektor dengan catatan mengubah nilai vektor pengurangnya menjadi nilai lawannya. Misalkan kita akan mengurangkan vektor A dengan vektor B pada contoh sebelumnya. Maka kita akan memperoleh R = A + (-B), dengan nilai -B = [-4 3 -2], sehingga R = [1 8 -7].

Perkalian pada vektor ada dua macam, yaitu perkalian titik atau perkalian skalar (dot product) dan perkalian silang (cross product). Masing – masing bentuk perkalian mempunyai sifat – sifat tersendiri, sehingga saya sarankan pembaca lebih mendalami konsep perkalian vektor dengan membaca buku – buku referensi yang ada.

Perkalian titik atau perkalian skalar (dot product) merupakan perkalian antara dua buah besaran vektor yang menghasilkan suatu nilai skalar. Aplikasi perkalian titik contohnya pada perhitungan usaha, usaha didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh dikalikan besar gaya yang sejajar dengan arah perpindahan. Secara matematis usaha didefinisikan sebagai W = F.s, di sini kita melihat salah satu aplikasi perkalian titik pada bidang fisika.

Secara matematis, perkalian titik dirumuskan dalam bentuk R = A.B dan R = AB cos(t), dengan t adalah besar sudut apit terkecil di antara kedua vektor. Konsep penting dalam perkalian titik adalah sifat perkalian titik antar vektor satuan. Pada perkalian titik perkalian antara dua buah vektor satuan yang sama memberikan nilai 1 dan perkalian antara dua buah vektor satuan yang berbeda menghasilkan nilai 0, misalnya i.i = j.j = k.k = 1 dan i.j = j.k = k.i = 0. Sehingga melalui operasi aljabar kita dapatkan nilai A.B = (Ax.Bx)+(Ay.By)+(Az.Bz). Selain itu, pada perkalian titik berlaku A.B = B.A. Melalui konsep tersebut, kita dapat mengaplikasikan operasi perkalian matriks pada operasi perkalian titik dua buah vektor. Perhatikan bahwa syarat dua buah matriks dapat dikalikan adalah ketika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

Misalkan kita akan mengalikan vektor A.B menghasilkan nilai skalar R, maka kita harus men-transpose matriks vektor B yang memiliki ukuran 1×3 sehingga menjadi matriks berukuran 3×1. Ingat bahwa pada perkalian titik kita melakukan transpos pada matriks tertentu sehingga menghasilkan hasil perkalian berupa matriks berukuran 1×1.Kita kalikan vektor A dan B-transpos untuk mendapatkan nilai R.Kita dapat melihat bahwa dengan menggunakan perkalian matriks yang menghasilkan matriks berukuran 1×1, kita bisa mendapatkan hasil perkalian titik antara dua vektor. Melalui perkalian matriks kita dapat menghindari perkalian antara dua vektor satuan yang berbeda yang menghasilkan nilai 0 (ingat bahwa meskipun kita tidak menuliskan vektor satuan i, j, k tetapi posisi kolom atau baris yang ditempati menunjukkan vektor satuan yang dimiliki nilai yang bersangkutan, sehingga sifat – sifat vektor satuan juga tetap dimiliki oleh nilai tersebut). Kita juga dapat melihat bahwa perkalian tersebut bersesuaian dengan persamaan perkalian titik A.B = (Ax.Bx)+(Ay.By)+(Az.Bz).

Perkalian silang (cross product) adalah perkalian antara dua buah vektor yang menghasilkan vektor lain yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor yang dikalikan. Aplikasi perkalian silang contohnya pada perhitungan torsi atau torka oleh suatu gaya. Torsi atau torka didefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara suatu gaya dengan panjang lengan yang tegak lurus terhadap arah gaya yang bekerja. Secara matematis torsi didefinisikan sebagai torsi = Fxd, di sini kita melihat salah satu aplikasi perkalian silang pada bidang fisika.

Secara matematis, perkalian silang dirumuskan dalam bentuk R = AxB dan R = AB sin(t), dengan t adalah besar sudut apit terkecil di antara kedua vektor. Konsep penting dalam perkalian silang adalah sifat perkalian titik antar vektor satuan. Pada perkalian titik perkalian antara dua buah vektor satuan yang sama memberikan nilai 0, misalnya ixi = jxj = kxk = 0. Sedangkan untuk vektor satuan lainnya berlaku sifat ixj =k,  jxk = i, kxi = j, dan jxi = -k, ixk = -j, kxj = -i. Sehingga melalui operasi aljabar kita bisa mendapatkan nilai AxB = (Ay.Bz – Az.By)i + (Az.Bx – Ax.Bz)j + (Ax.By – Ay.Bx)k. Selain itu, perkalian silang memiliki sifat AxB = -BxA. Untuk menyelesaikan perkalian silang dua buah vektor kita dapat menggunakan konsep determinan matriks 3×3. Salah satu cara untuk mencari determinan matriks 3×3 adalah dengan metode Sarrus, untuk memahami metode ini silahkan membaca referensi – referensi lain tentang metode Sarrus.

Untuk menghitung nilai perkalian silang  AxB = R, kita dapat menggunakan konsep determinan matriks 3×3 dengan cara menyusun matriks vektor A dan B menjadi matriks berukuran 3×3 dengan menambahkan matriks vektor satuan [i j k] pada baris pertama, kemudian menempatkan matriks vektor A pada baris kedua dan matriks vektor B pada baris ketiga. Kita dapat memperoleh nilai R dengan cara mencari determinan dari matriks 3×3 tersebut.Melalui penggunaan konsep determinan kita dapa melihat kesesuaian antara bentuk aljabar determinan matriks 3×3 dengan rumus yang kita miliki untuk mencari nilai hasil perkalian silang vektor AxB = (Ay.Bz – Az.By)i + (Az.Bx – Ax.Bz)j + (Ax.By – Ay.Bx)k.

Uraian di atas adalah metode analisis vektor dengan menggunakan pendekatan matriks. Kita bisa memandang sebuah vektor sebagai suatu bentuk matriks dan menggunakan operasi matematika yang berlaku pada matriks untuk mencari nilai dari hasil operasi matematika dasar pada vektor yang bersangkutan. Melalui pendekatan ini kita dapat menyederhanakan analisis vektor sehingga terhindar dari keharusan untuk menulis rumus yang cukup panjang. Selain itu, sifat – sifat  vektor satuan dapat diterapkan pada pendekatan matriks. Akan tetapi, pendekatan matriks menuntut ketelitian yang cukup tinggi karena operasi pada matriks melibatkan nilai – nilai yang memiliki koordinat posisi yang berbeda – beda dan letak nilai tersebut sangat mempengaruhi hasil operasi matriks.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang dan bujur sangkar dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh kolom dan baris yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) dan [ ].

Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Diatas juga telah dijeleskan macam-macam matriks, aljabar matriks, nilai eigen dan vektor eigen serta penerapan matriks dalam ilmu fisika. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.

B.     Saran

Matematika  merupakan salah satu mata pelajaran yang paling tidak disukai oleh anak-anak. Kenyataan di lapangan membuktikan cukupbanyak siswa yang tidak suka bahkan membenci mata pelajaran matematika. Dalam benak mereka matematika merupakan mata pelajaran yang sangat sulit untuk dimengerti bahkan membosankan.

 Hal ini menjadi dilema bagi para pendidik dan para ahli, karena matematika merupakansalah satu pengetahuan untuk sains dan teknologi yang sangat perlu bagi kelanjutan pembangunan. Apalagi dalam memasuki abad ke -21 yangditandai dengan kemajuan dalam perkembangan IPTEK, pengetahuan siapdan kepiawaian berpikir logis yang dikembangakan dalam pelajaranmatematika sangat diperlukan.

Dalam menghadapi era globalisasi yang diiringi dengan perkembangan IPTEK yang sangat pesat, maka peningkatan kualitas-kualitas sumber daya manusia mempunyai posisi yang strategis bagi keberhsilan dan kelanjutan pembangunan nasional. Oleh sebab itu, upaya tersebut mutlak harus mendapat perhatian yangsungguh-sungguh dan harus dirancang secara sistematis dan seksama berdasarkan pemikiran yang matang. Wadah yang tepat bagi upaya peningkatan kualitas sumberdaya manussia adalah pendidikan.

Ada beberapa indikator dalam peningkatan mutu  pendidikan antara lain melalui peningkatan kinerja guru dan peningkatan mutupelajaran yang melibatkan MBS, Pakem, serta peran serta masyarakat (PSM).Dalam kaitannya dengan Pakem, guru dituntut untuk menciptakan situasi pembelajaran yang kondusif, yaitu pembelajaran yang aktif, kreatif, efektif, danmenyenangkan. Situasi pakem tersebut harus diupayakan untuk semua mata pelajaran.

Dengan begitu, diharapkan peningkatan mutu pendidikn pendidikan dapat tercapaisecara optimal. Guru sebagai faktor penentu dan paling berpengaruh dalam hal menanamkan konsep terhadap siswa. Penguasaan guru terhadap materi pelajaran, kemampuan guru dalam memilih dan menggunakan metode pembelajaran serta kemampuan guru dalam menetapkan media pembelajaran sangat menentukan terhadap keberhasilan proses pembelajaran, di samping adanya potensi dan kemauan siswa sendiri.

DAFTAR PUSTAKA

Ruminta.2009.Matriks Persamaan Linier dan Pemograman Linier.

         Bandung:Rekayasa Sains.

http://feriantoraharjo.files.wordpress.com/2009/09/05_eigen_value.pdf

Diakses pada tanggal: 30-11-2013 pukul: 13:45

http://xprashp.wordpress.com/2010/10/31/analisis-vektor-dengan-pendekatan-matriks/

diakses pada tanggal 01-12-2013 pukul 14:07

http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-matriks-pengertian-jenis-jenis-sifat-operasi-invers-jawaban-notasi-dan-ordo-penjumlahan-pengurangan-perkalian-transpose-skalar-determinan-matematika.html

diakses pada tanggal 01-12-2013 pukul 14:07

http://ghose-smkitpesat.blogspot.com/2012/02/matriks.html

http://paradoks77.blogspot.com/2011/08/nilai-eigen-dan-vektor-eigen.html

http://achidayat.lecture.ub.ac.id/2012/12/nilai-eigen-teori-dan-interpretasinya-dalam-analisa-forex/

diakses pada tanggal 04 12 2013 pukul 22:04